SPEEDCUBING: PERSAMAAN DIFERENSIAL TERPISAH

Assalamu Alaikum Warahmatullahi Wabarakatuh
Selamat pagi bagi yang membacanya di pagi hari
Selamat siang bagi yang membacanya di siang hari
Selamat sore bagi yang membacanya di sore hari
Selamat malam bagi yang membacanya di malam hari
Kali ini kita akan membahas PERSAMAAN DIFFERENSIAL TERPISAH

Suatu persamaan diferensial variabel terpisah ditandai oleh fakta bahwa dua peubah dari persamaan itu bersama-sama masing-masing dideferensiannya, dapat ditempatkan di ruas yang berlawanan. Dengan manipulasi aljabar, memungkinkan kita menuliskan persamaan diferensial terpisah dalam bentuk implisit:

y' = P(x)/Q(x), atau
dy/dx = P(x)/Q(x) >>>(dalam bentuk eksplisit)

Untuk memperoleh penyelesaian umum suatu persamaan diferensial terpisah, pertama-tama kita pisahkan kedua peubah dan kemudian integralkan kedua ruas.

awal → Q(y) dy = P(x) dx

integral → ∫ P(x) dx = ∫ Q(y) dy + C, dimana C adalah konstanta sembarang

Note: Bisa dilakukan hanya pada variabel yang sama,

Hanya mengandung variabel y ← (y + 1 / y² + 4) dy = -x dx → Hanya mengandung variabel x

contoh soal

1.Carilah solusi umum dari persamaan diferensial berikut:

x² dx + (1-y²) dy = 0

Karena PD berbentuk variabel terpisah, maka penyelesaian dapat ditemukan dengan melakukan pengintegralan langsung pada tiap-tiap ruas

Dengan demikian, solusi umum PD adalah

2. Carilah solusi umum dari persamaan diferensial e^y y' = x cosx

Perhatikan bahwa PD dapat ditulis kembali dalam bentuk

Dengan melakukan pengintegralan dikedua ruas, diperoleh

secara eksplisit, solusi umum dapat ditulis

3.Carilah solusi umum dari persamaan diferensial

Ubah bentuk PD ke bentuk variabel terpisah, kemudian selesaikan dengan pengintegralan

Dengan demikian solusi umum PD adalah

4. y² dy = (x + 3x²) dx, bila mana x = 0 dan y = 6 → bentuk Implisit

y² dy = (x + 3x²) dx, syarat harus mengandung variabel yang sama pada tiap ruas.

Integralkan kedua ruas