PERSAMAAN DIFERENSIAL HOMOGEN

Assalamu Alaikum Warahmatullahi Wabarakatuh
Selamat pagi bagi yang membacanya di pagi hari
Selamat siang bagi yang membacanya di siang hari
Selamat sore bagi yang membacanya di sore hari
Selamat malam bagi yang membacanya di malam hari

Kali ini kita akan membahas PERSAMAAN DIFERENSIAL HOMOGEN

Definisi

Fungsi F(x,y) disebut fungsi homogen bila terdapat n∩R. sehingga berlaku F(kx,ky) = k pangkat n F(x,y). dengan n disebut oerder dari fungsi homogen F(x,y). Ciri umum persamaan diferensial homogenya adalah tiap suku derajatnya sama.

Bentuk Persamaan

M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0

Atau

f(x,y) = -M(x,y) / N(x,y) = t^0 f(x,y).

Disebut persamaan diferensial homogeny oerde satu, jika M dan N adalah fungsi homogen yang berderajat sama, atau f fungsi homogen berderajat nol.

Metode Penyelesaian

Gunakan substitusi z = y/x atau z = x/y

Dengan substitusi ini, persamaan diferensialnya akan menjadi suatu persamaan diferensial peubah. Dari y’ = f(x,y), dengan fungsi f homogen berderajat nol.

Dengan mengambil t = 1/x, x 0, dan z = y/x diproleh :

            F(x,y) = f(1, y/x) = f(1,z)

Dan dengan penerapan aturan rantai pada y = zx, dy/dx = dy/dz dz/dx + dy/dx akan diproleh :

            dy/dx = x dz/dx + z            

substitusikan ke persamaan diferensialnya, akan diproleh :

            x dz/dx = f (1,z) – z

atau

            dz/f(1,z) – z = dx/x

Langkah-langkah Menentujan Penyelesaian Umum Persamaan Diferensial Homogen

• Gunakan tranformasi:
  y = u x -> dy = x du + u dx, atau
  x = u y -> dy = y dy + u du
• Persamaan diferensial homogeny tereduksi ke Persamaan Diferensial terpisah
• Gunakan aturan persamaan diferensial terpisah untuk mendapatkan solusi umum persamaan diferensial.
• Gantilah u = 𝑦/𝑥 jika menggunakan transformasi y = u x, dan u = 𝑥/𝑦 jika menggunakan transformasi x = u y untuk mendapatkan kembali variable semula.

Contoh Soal:

1.

2.

Untuk soal dan pembahasan lebih lanjut, silahkan klik di bawah ini:

Soal dan Pembahasan